Question

如图，斜三棱柱ABC﹣的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面AC⊥平面CB；
（2）若二面角B﹣A﹣的余弦值为，设，求的值．

Answer 1

解：（1）取BC中点M，连接M，则M⊥面ABC，
∴面BC⊥面ABC，
∵BC=面BC∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BC，
∵AC面AC，
∴面AC⊥面BC．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=2，M=t，
∵M⊥面ABC，M是BC中点，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），（0，1，t），（0，﹣1，t），
即，，，
设面AB法向量
∵，，
∴，
∴；
设面A法向量，
∵，，
∴，
∴，
∵二面角B﹣A﹣的余弦值为，
∴cos＜，＞==，
∴解得，
∴B==2，
∴A=B=2，
∴===1．