Question

已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)²＋y²＝64相内切．

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)圆，圆心M的坐标为(2，0)，半径R＝8． 　　∵，∴点在圆M内． 　　设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r＝|CA|，且， 　　即． 　　∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为 　　，则．∴． 　　∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为．4分 　　(2)由　消去y化简整理得： 　　设，，则　6分 　　Δ　① 　　由　消去y化简整理得：． 　　设，则， 　　Δ　②　8分 　　∵，∴，即， 　　∴．∴或．解得或　10分 　　当k＝0时，由①、②得， 　　∵m∈Z，∴m的值为，0，； 　　当m＝0，由①、②得， 　　∵k∈Z，∴． 　　∴满足条件的直线共有9条．12分