Question

已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)²+x²=64相内切

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

(2)设直线l: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.      

∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M内，

设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，

即|CM+|CA|=8>|AM|，                              ……3分

∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2，

∴b2=a2－c2=12，

∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.…5分

(2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，

设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=.

△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0.        ①           ……7分

由消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，

设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=.

△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0.        ②           ……9分

∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，

∴，∴2km=0或，

解得k=0或m=0，                                   ……12分

当k=0时，由①、②得，

∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；

当m=0时，由①、②得，∵k∈Z，∴k=－1，0，1.

∴满足条件的直线共有9条.                          ……14分

 

【解析】略