Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）AE⊥PD判定AE与PD是否垂直，并说明理由
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据题意可得：△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，又因为BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，进而可得答案．
（II）建立坐标系，利用题中的已知条件分别求出两个平面的法向量，借助于向量的有关运算计算出向量的夹角，再转化为二面角的平面角．
解答：解：（Ⅰ）垂直．
证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又因为BC∥AD，
所以AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．
又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又E，F分别为BC，PC的中点，设AB=BC=CD=DA=2，所以AE=，
AH⊥PD于H，此时EH与平面PAD所成最大角的正切值为，
所以AH=，易知PA=2，
∴，，
所以．
设平面AEF的一法向量为=（x₁，y₁，z₁），
则因此取z₁=-1，
则=（0，2，-1），因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量．
又，所以．
因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．