Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，f（3x+4）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=1，有f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
所以f（-1）=0．
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
令x₁=-1，有f（-x₂）=f（-1）+f（x₂），
∴f（-x₂）=f（x₂），
又定义域关于原点对称，所以f（x）为偶函数．
（3）因为f（4）=1，所以f（16）=f（4）+f（4）=2，
所以f（3x+4）＜f（16），
又函数为偶函数，所以f（|3x+4|）＜f（16），
所以

-16＜3x+4＜16 3x+4≠0

，解得x的取值范围是：-

20

3

＜x＜4且x≠-

4

3

．