Question

已知θ∈（0，2π），而sinθ、cosθ是方程x²-kx+k+1=0的两个实根，求k和θ.

Answer 1

解：方程x²-kx+k+1=0有实根，

∴Δ≥0，即k²-4（k+1）≥0.①

由韦达定理可知：sinθ+cosθ=k，②

sinθ·cosθ=k+1，③

②²-③×2，得1=k²-2k-2，解得k=3或k=-1.

将k=3与k=-1代入①式检验，k=3舍去，所以k=-1.

把k=-1代入③，得sinθ·cosθ=0，

∴sinθ=0或cosθ=0，即θ=π或θ=，θ=.

∵当sinθ=0时，cosθ=-1，又θ∈（0，2π），

∴θ=π；

当cosθ=0时，sinθ=-1，所以θ=.

∴即为所求.