Question

【题目】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求f(x)在区间 [－1，2]上的最大值；

(3)若函数f(x)在区间上单调，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5（3）.

【解析】

（1）由得，再根据得到，进而得到函数的解析式；（2）根据函数的单调性求出最值即可；（3）结合函数图象的开口方向，只需函数图象的对称轴不在区间内，由此得到不等式，解不等式即可．

(1)由f(0)＝2，得c＝2.

由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，

得2ax＋a＋b＝2x－1，

所以，解得，

所以.

（2）由（1）得，

故函数f(x)图象的对称轴为x＝1．

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

又f(－1)＝5，f(2)＝2，

所以f(x)在区间上的最大值为．

（3）因为f(x)的图象的对称轴方程为x＝1，且函数f(x)在区间上单调，

所以，或，

解得，或1，

因此的取值范围为.