Question

如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围.

Answer 1

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.

    解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

                所以,

                即

                因此，椭圆方程为

            (Ⅱ)设

             (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

               (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

                    设直线AB的方程为：

                    整理得

                    所以

                    因为恒有，所以AOB恒为钝角.

                    即恒成立.

                    

                             

又a²+b²m²＞0,所以-m²a²b²+b²-a²b²+a²＜0对mR恒成立，

即a²b²m²＞ a² -a²b²+b²对mR恒成立.

当mR时，a²b²m²最小值为0，所以a² -a²b²+b²＜0.

a²＜ a²b²- b², a²＜( a²-1) b²= b⁴,

因为a＞0,b＞0,所以a＜ b²,即a²-a-1＞0,

解得a＞或a＜(舍去)，即a＞,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²,2(1+y_A²)＜4 y_A², y_A²＞1，即＞1,

解得a＞或a＜(舍去)，即a＞.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x₁,y₁）, B（x₂,y₂）.

设直线AB的方程为y=k(x-1)代入

得(b²+a²k²)x²-2a²k²x+ a² k²- a² b²=0,

故x₁+x₂=

因为恒有|OA|²+|OB|²＜|AB|²,

所以,

得x₁x₂+ y₁y₂＜0恒成立.

x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂+k²(x₁-1) (x₂-1)=(1+ k²) x₁x₂- k² (x₁+x₂)+ k²

=(1+k²).

由题意得（a²- a² b²+b²）k²- a² b²＜0对kR恒成立.

①当a²- a² b²+b²＞0时，不合题意；

②当a²- a² b²+b²=0时，a=;

③当a²- a² b²+b²＜0时，a²- a²(a²-1)+ (a²-1)＜0，a⁴- 3a² +1＞0,

解得a²＞或a²＞（舍去），a＞，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.