Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：先设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，进而在RT△PF₁F₂中结合双曲线的定义和△PF₁F₂的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．

解答：解：设F₁F₂=2c，由题意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根据曲线的定义得：
F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²，
 从而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²，
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²），
又△PF₁F₂的面积等于a²，
即

1

2

F₁P×F₂P=a²，
c²-a²=a²，
e=

2

，
∴双曲线的离心率

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．