Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）若关于x的不等式a≥f（x）存在实数解，求实数a的取值范围；
（2）若?x∈R，f（x）≥-t²-恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|x-2|=，
∴f_min（x）=f（-）=-．
由题意可得a≥-，故实数a的取值范围为[-，+∞）．
（2）∵?x∈R，f（x）≥-t²-恒成立，
∴-≥-t²-，解得 t≥，或 t≤-3．
故实数t的取值范围为[，+∞）∪（-∞，-3]．
分析：（1）化简函数f（x）的解析式，利用单调性求出函数f（x）的最小值等于-，由此可得实数a的取值范围．
（2）由?x∈R，f（x）≥-t²-恒成立，可得-≥-t²-，由此解得 t的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．