Question

20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（$\frac{π}{3}$，5）
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的单调递增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即可解得函数的增区间．
（3）由y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ-π，2kπ]，k∈z，即y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤0时，有2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-π，2kπ]，从而解得x的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得A=5，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$，求得ω=2
∴y=5sin（2x+φ）
将 （$\frac{π}{3}$，5）代入解析式得：5=5sin（$\frac{2π}{3}$+φ）
∴$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π
令k=0，则有φ=-$\frac{π}{6}$
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]．k∈Z．
（3）∵y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ-π，2kπ]，k∈z
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤0时，有2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-π，2kπ]，
∴x∈[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．