Question

设f（x）定义域为D，若满足（1）f（x）在D内是单调函数（2）存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域为[a，b]，则称f（x）为D上的闭函数．当f(x)=k+

x+2

为闭函数时，k的范围是

(-

9

4

，-2]

．

Answer 1

分析：由已知中闭函数的定义，及函数f(x)=k+

x+2

的解析式，我们可得函数满足条件（1），即在定义域D内是单调函数，若满足条件（2）则f(x)=k+

x+2

=x在区间[-2，+∞）上有两个根，利用换元法，可将条件转化为t²-t-（2+k）=0有两个非负根，结合二次方程根与系数的关系，可得关于k的不等式组，进而求出k的范围．

解答：解：∵f(x)=k+

x+2

在定义域D=[-2，+∞）上为增函数
故满足条件（1）
若存在[a，b]⊆D使f（x）在x∈[a，b]值域为[a，b]，
则f(x)=k+

x+2

=x在区间[-2，+∞）上有两个根
令t=

x+2

（t≥0）
则原方程可化为t²-t-（2+k）=0有两个非负根
即

△=1+4(2+k)＞0 2+k≤0

解得-

9

4

＜k≤-2
故k的范围是(-

9

4

，-2]
故答案为：(-

9

4

，-2]

点评：本题考查的知识点是单调性的性质，其中正确理解新定义“闭函数”中的两个条件的意义，是解答本题的关键．