Question

如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为平行四边形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA₁＝2，E为DC的中点，F是棱DD₁上的动点．

(1)求异面直线AD₁与BE所成角的正切值；
(2)当DF为何值时，EF与BC₁所成的角为90°？

Answer 1

(1)3；（2）

试题分析：（1）求异面直线所成的角，应该先找后求，异面直线所成的角是指将两条异面直线经过平行移动后，移到相交位置时，所成的锐角或直角，故平移直线是找异面直线所成角的关键，通常平移办法有中位线平移、平行四边形平移、比例线段平移，找到所求的角后，然后借助平面图形去求；（2）直线和直线 垂直，通常采取的办法是，先证明线面垂直，进而证明线线 垂直，而证明线面垂直，又需要两个线线垂直关系，所以需从图里尽可能挖掘隐藏的垂直关系.
试题解析：(1)连接₁.在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，∵,∥,∴四边形是平行四边形，所以∥,∴就是异面直线AD₁与BE所成角或者是其补角，因为是边的中点，所以,又在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，,∴面,所以,在Rt△BEC₁中，BE＝，EC₁＝，所以tan ∠EBC₁＝=3；
（2）当DF＝时，EF与BC₁所成的角为9 0°，由(1)知，面，∴,∴当时，面，从而，在矩形中，又DE＝EC＝，CC₁＝AA₁＝2.
当DF=时，因为，,  所以△DEF∽△CC₁E，所以∠DEF＋∠CEC₁＝90°，
所以∠FEC₁＝90°，即FE⊥EC₁.又EB∩EC₁＝E，所以EF⊥平面BEC₁，
所以EF⊥BC₁，即EF与BC₁所成的角等于90°.