Question

如果数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

（n≥1），则a₃为

2

3

，通项为

an=

2

n

．

Answer 1

分析：利用已知条件，直接求出a₃的值，通过已知条件列出递推关系式，判断{

1

an

}是等差数列，求出通项即可．

解答：解：因为数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

，
所以

a1-a2

a1

=

a2-a3

a3

，所以a₃=

2

3

，
因为

an-an+1

an

=

an+1-an+2

an+2

所以

an-an+1

anan+1

=

an+1-an+2

an+1an+2

，
所以

1

an+1

-

1

an

=

1

an+2

-

1

an+1

，即

2

an+1

=

1

an

+

1

an+2

，
所以{

1

an

}是等差数列，因为a₁=2，a₂=1，
所以该数列首项为

1

2

，公差也是

1

2

，
所以

1

an

=

1

2

+(n-1)

1

2

，所以an=

2

n

．
故答案为：

2

3

；

2

n

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查逻辑推理能力以及计算能力．