Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求

1

a2

+

1

b2

的值；
（2）若椭圆的离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0结合y₁=1-x₁，y₂=1-x₂可得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，将y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0则x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

代入整理可求
（2））由e2=

c2

a2

=1- 

b2

a2

 及

1

3

≤1-

b2

a2

≤

1

2

，b2=

a2

2a2-1

   可求a得范围

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0（2分）
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0①又将y=1-x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
∵△＞0∴x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

（4分）
代入①化简得 

1

a2

+

1

b2

=2．（6分）
（2）∵e2=

c2

a2

=1- 

b2

a2

∴

1

3

≤1-

b2

a2

≤

1

2

∴

1

2

≤

b2

a2

≤

2

3

（8分）
又由（1）知b2=

a2

2a2-1

   （9分）
∴

1

2

≤

1

2a2-1

≤

2

3

∴

5

2

≤a≤

6

2

，（11分）
∴长轴 2a∈[

5

，

6

]．（12分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，方程的思想的应用圆锥曲线的性质的应用，属于性质的应用，要求具备一定的综合应用知识的能力．