Question

双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，其上一点P，若∠F₁PF₂=θ，
（1）证明：三角形；
（2）若双曲线的离心率为2，斜率为1的直线与双曲线交于B、D两点，BD的中点M（1，3），双曲线的右顶点为A，右焦点为F，若过A、B、D三点的圆与x轴相切，请求解双曲线方程和的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncosθ=4a²+2mn（1-cosθ），所以=，再由正弦定理能证明=．
（2）因为双曲线的离心率为2，所以双曲线方程为：3x²-y²=3a²，由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），联立方程得2x²-4x-4-3a²=0，x₁+x₂=2，，由此入手能够求出的值．
解答：（1）证明：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得
（2c）²=m²+n²-2mncosθ
=（m-n）²+2mn-2mncosθ
=4a²+2mn（1-cosθ），
∴=，
由正弦定理===．…（5分）
（2）解：因为双曲线的离心率为2，
所以双曲线方程为：3x²-y²=3a²，
由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），
联立方程得2x²-4x-4-3a²=0，
x₁+x₂=2，，
若过A、B、D三点的圆与x轴相切，
则=2=2MA，
∴6+3a²=（a-1）²+9，
∴a=1，
∴双曲线方程为．…（8分）
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a，
则|BF|===a-2x₁，
|FD|===2x₂-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x₁）（2x₂-a）
=-4x₁x₂+2a（x₁+x₂）-a²
=5a²+4a+8
=17，
∴=17．…（12分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．