题目内容

已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋1(n∈N*)．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{bn}满足，证明：{bn}是等差数列；

(Ⅲ)证明：－＜＋＋…＋＜(n∈N*)

答案：
解析：

　　解：(1)，

　　数列是首项为2，公比为2的等比数列

　　，　4分

　　(2)证法一：

　　，即①

　　②

　　②－①得：，即③

　　④

　　④－③得，即

　　所以数列是等差数列．　9分

　　证法二：同证法一，得：，令，得．

　　设，下面用数学归纳法证明．

　　①当时，等式成立．

　　②假设当时，，那么

　　

　　这就是说，当时，等式也成立．

　　根据①和②可知对任何都成立．

　　

　　数列是等差数列．　9分

　　(3)证明：，

　　

　　，

　　

　　．　14分


练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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