Question

2．函数y=f（x）是[-2，2]上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）是减函数，不等式f（1-x）＜f（x）的解集为[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由题设条件知，偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，在[-2，0]是增函数，由此可以得出函数在[-2，2]上具有这样的一个特征--自变量的绝对值越小，其函数值就越小，由此抽象不等式f（1-x）＜f（x）可以转化为$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-2≤1-x≤2}\\{|1-x|＞|x|}\end{array}\right.$，解此不等式组即可．

解答 解：偶函数f （x）在[0，2]上是减函数，
∴其在（-2，0）上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大．
∴不等式f（1-x）＜f（x）可以变为$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{-2≤1-x≤2}\\{|1-x|＞|x|}\end{array}\right.$，
解得：x∈[-1，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查偶函数与单调性，二者结合研究出函图象的变化趋势，用此结论转化不等式，这是解本题的最合适的办法，本题属于中档题．