Question

已知f（x）=（x-1）²-4，等差数列{a_n}中，a1=f(x-1)，a2=-

3

2

，a3=f(x)．
求：
（1）x的值；
（2）数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）a₂+a₅+a₈+…+a₂₆．

Answer 1

分析：（1）依题意，由2a₂=a₁+a₃可求得x的值；
（2）由（1）可求得该等差数列的公差，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）利用等差数列的求和公式分类求和即可．

解答：解：依题意，a₁=（x-2）²-4=x²-4x，a₃=（x-1）²-4=x²-2x-3，
∵{a_n}为等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，即-3=2x²-6x-3，
∴x=3或x=0；
（2）若x=0，则a₁=0，a₂=-

3

2

，
∴公差d=-

3

2

，
∴a_n=（n-1）（-

3

2

）=-

3

2

（n-1）=

3

2

-

3

2

n；
若x=3，同理可求，a_n=

3

2

n-

9

2

；
（3）若a_n=

3

2

-

3

2

n，
则a₂=-

3

2

，a₂₆=-

75

2

，
∴a₂+a₅+a₈+…+a₂₆=

(a2+a26)

2

×9=-

351

2

；
若a_n=

3

2

n-

9

2

，同理可求，a₂+a₅+a₈+…+a₂₆=

(a2+a26)

2

×9=

(- 3 2 + 69 2 )

2

×9=

297

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的通项公式与数列求和，考查分析与运算能力，属于难题．