Question

△ABC的三个内角A，B，C满足sinA•cos²

C

2

+sinC•cos²

A

2

=

3

2

sinB，则cosB的取值范围是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：通过逆应用二倍角公式，化简方程，然后利用两角和的正弦函数、三角形的内角和，推出a、b、c关系，再利用余弦定理和基本不等式求出cosB的不等式，利用余弦函数的单调性求cosB的取值范围即可．

解答：解：由sinA•cos²

C

2

+sinC•cos²

A

2

=

3

2

sinB，
可得sinA•

1+cosC

2

+sinC•

1+cosA

2

=

3

2

sinB
得：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
即sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，即2b=a+c．
由余弦定理，得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取等号，
∵cosx＜1，
所以cosB的范围是[

1

2

，1）．
故答案为：[

1

2

，1)

点评：本题是中档题，考查正弦定理．余弦定理、两角和的正弦函数的应用，基本不等式的应用，难度较大，考查计算能力．