题目内容

已知双曲线的一条渐近线方程是 $数学公式$ ，焦距为 $数学公式$ ，则此双曲线的标准方程为________．

$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：若双曲线焦点在x轴上，设它的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）．根据渐近线方程是 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，再根据焦距为 $\text{[math]}$ ，得到c= $\text{[math]}$ ，联解可得a²和b²的值，从而得到焦点在x轴上双曲线的标准方程．然后用类似的方法，可得焦点在y轴上双曲线的标准方程，最后得到满足题意的双曲线的标准方程．
解答：（1）当双曲线焦点在x轴上时，
设它的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
∵双曲线的一条渐近线方程是 $\text{[math]}$ ，
∴渐近线方程 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ …①
又∵双曲线的焦距为 $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ …②
联解①②，得a²=4，b²=3
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$
（2）当双曲线焦点在y轴上时，
设它的标准方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）
采用类似（1）的方法，可得a²=3，b²=4
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$
综上所述，所求双曲线方程为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
点评：本题用待定系数法求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的渐近线和焦点等基本概念和双曲线的简单性质，属于基础题．