Question

函数f（x）=x²+ax+b 的图象与直线y=x-2 相切于点（1，-1）处，则f （x）的极小值等于（　　）

• A．-2
• B．-

  3

  4

• C．-

  5

  4

• D．1

Answer 1

分析：利用切线的斜率是曲线在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程求出切线的斜率建立等式得到a值，利用切点在曲线上求出b值，最后利用二次函数的性质求得f （x）的极小值即可．

解答：解：∵f（x）=x²+ax+b，∴f′（x）=2x+a，
∵函数f（x）=x²+ax+b 的图象与线y=x-2 相切于点（1，-1）处，
∴函数f（x）=x²+ax+b在x=1处的切线斜率为1，
∴2+a=1，⇒a=-1，
又∵切点坐标为（1，-1）代入f（x）=x²-x+b得
-1=1²-1+b
∴b=-1
∴f（x）=x²-x-1，
故当x=

1

2

时，f （x）的极小值f （

1

2

）=-

5

4

，
故选C．

点评：本题主要考查了函数导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．