Question

在数列{a_n}中，a₁=-6×2¹⁰，点（n，2a₊₁-a_n）在直线y=2¹¹x上，设b_n=a_n+1-a_n+t，数列{b_n}是等比数列．
（1）求出实数t；（2）令c_n=|log₂b_n|，问从第几项开始，数列{c_n}中连续20项之和为100？

Answer 1

分析：（1）根据点在正弦上得到数列{a_n}的项的递推关系，将此代入

bn

bn-1

，由于数列{b_n}是等比数列，得到此商一个为常数，令2¹¹+2t=t，求出t的值．
（2）利用等比数列的通项公式求出b_n，将t的值代入b_n然后将b_n代入c_n，通过对k的讨论，将绝对值符号去掉，利用等差数列的前n项和求出连续20项之和列出方程求出开始的项．

解答：解：（1）由题设知2a_n+1=a_n+2¹¹n，从而an+1=

1

2

(an+211n)
当n＞1时，

bn

bn-1

=

an+1-an+t

an-an-1+t

=

an-an-1+211+t

2(an-an-1+t)

，
若{b_n}是等比数列，则2¹¹+2t=t，
故t=-2¹¹．
（2）∵{b_n}是以

1

2

为公比的等比数列，首项为a₂-a₁+t，
∴bn=(a2-a1-211)(

1

2

)n-1
∵a2=

1

2

(a1+211)=

1

2

(-6•210+211)，a₂-a₁-2¹¹=2¹¹
∴bn=211(

1

2

)n-1=212-n
∴c_n=|n-12|，
假设{c_n}从第k项起连续20项之和为100，
当k≥12时，c_k+c_k+1+…+c_k+19≥c₁₂+c₁₃+…+c₃₁=190≥100不合题意，
当k＜12时，c_k+c_k+1+…+c_k+19=12-k+11-k+…+1+0+1+…+k+7=k²-5k+106=100
解得k=2或3，
所以数列{c_n}从第二项或长三项起连续20项之和为100．

点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常见的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．