Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a>b≥1）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q （0,3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．
（1）求椭圆C的方程。
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|<时，求实数t的取值范围．

Answer 1

(1) ;(2) 或

解析试题分析：(1)此问主要考察椭圆与双曲线的性质，椭圆的离心率与双曲线的性质相等，则，利用直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直线与圆锥曲线相交问题，首先方程联立,写出根与系数的关系，代入向量相等的坐标表示，得出点坐标，利用点在椭圆上，代入方程，然后利用,利用弦长公式，得到的范围，与之前得到的与的关系式，求出的范围.
试题解析：（1）∵ ∴        1分
则椭圆方程为即?设则
，当时，
有最大值为? 解得?∴，椭圆方程是    5分
（2）设?方程为?
由?整理得． 
由，解得．
，        7分
∴  则,
， 由点P在椭圆上，代入椭圆方程得
①         9分
又由，即，
将，，代入得则, 
，  ∴②      11分，
由①，得.联立②，解得
∴或        13分
考点：1.圆锥曲线的性质；2.直线与圆锥曲线相交问题