题目内容

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（ II）求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．

解：（ I）如图，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，

建立空间直角坐标系D-xyz如图所示，可得
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）…（2分）
设E（0，2，t），则 $\text{[math]}$ ．
∵BE⊥B₁C，
∴可得 $\text{[math]}$ ．解之得t=1，
∴E（0，2，1），且 $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ，…（4分）
∴ $\text{[math]}$
且 $\text{[math]}$ …（6分）
∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．
∵BD、BE是平面BDE内的相交直线．
∴ $\text{[math]}$ 平面BDE…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）所建的坐标系，得
$\text{[math]}$ 是平面BDE的一个法向量，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
因此，可得A₁B与平面BDE所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得D、A、B、C、A₁、B₁、
C₁、D₁各点的坐标，进而得到向量 $\text{[math]}$ 的坐标．设E（0，2，t），由 $\text{[math]}$ 解出t=1，得到 $\text{[math]}$ 的坐标，由此得到 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，结合线面垂直判定定理可得A₁C⊥平面BED；
（II）根据 $\text{[math]}$ 是平面BDE的一个法向量，由空间向量的夹角公式算出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 夹角的余弦，结合空间直线与平面所成角的定义，可得这个余弦值即为A₁B与平面BDE所成的角的正弦值．
点评：本题给出正四棱柱，求证线面垂直并求直线与平面所成角的正弦值，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、用空间向量的夹角公式求直线与平面所成角等知识，属于中档题．