题目内容
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为3，侧棱长为4，连接A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E．（1）求证：D1B⊥平面AEC；
（2）求二面角B-AE-C的平面角的正切值．
分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式，证明
•
=0，
•
=0，即可得到结论；
（2）确定
=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量，
=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角B-AE-C的平面角的正切值．
| D1B |
| AE |
| D1B |
| AC |
（2）确定
| D1B |
| n |
解答：
（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，
），D1（0，0，4）．
∵
=（3，3，-4），
=（0，3，
），
=（-3，3，0）
∴
•
=0，
•
=0
∴
⊥
，
⊥
∵AE∩AC=A
∴D1B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D1B⊥平面AEC，∴
=（3，3，-4）是平面AEC的一个法向量．
又∵
=（-1，0，0）是平面ABE的一个法向量，
∴cos＜
，
＞=
=
∴tan＜
，
＞=
，即二面角B-AE-C的平面角的正切值为
．
（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（3，3，
| 9 |
| 4 |
∵
| D1B |
| AE |
| 9 |
| 4 |
| AC |
∴
| D1B |
| AE |
| D1B |
| AC |
∴
| D1B |
| AE |
| D1B |
| AC |
∵AE∩AC=A
∴D1B⊥平面AEC；
（2）解：由（1）知，D1B⊥平面AEC，∴
| D1B |
又∵
| n |
∴cos＜
| D1B |
| n |
| ||||
|
|
| 3 | ||
|
∴tan＜
| D1B |
| n |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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