Question

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-

2

x

．
（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；
（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，求出导函数φ′（x）=

x2-kx+2

x2

因为x²＞0，要判断φ′（x）的正负就要研究g（x）=x²-kx+2的符号，讨论△的正负即可得到g（x）的正负即可得到φ′（x）的正负，即可得到函数的单调区间．（2）由xf（x）≥ax-a解出a≤

xlnx

x-1

，设h（x）=

xlnx

x-1

，所以求出h′（x），讨论h（x）的增减性得到h（x）的最小值．让a小于等于最小值即可得到a的范围．

解答：解：（1）函数φ（x）=x-

2

x

-klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+

2

x2

-

k

x

=

x2-kx+2

x2

，记函数g（x）=x²-kx+2，其判别式△=k²-8
①当△=k²-8≤0即0＜k≤2

2

时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k²-8＞0即k＞2

2

时，方程g（x）=0有两个不等的实根x₁=

k- k2-8

2

＞0，x₂=

k+ k2-8

2

＞0．
若x₁＜x＜x₂，则g（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在区间（x₁，x₂）上递减；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上递增．
综上可知：当0＜k≤2

2

时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；当k＞2

2

时，φ（x）的递增区间为（0，

k- k2-8

2

）和（

k+ k2-8

2

，+∞），递减区间为（

k- k2-8

2

，

k+ k2-8

2

）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax-a?a≤

xlnx

x-1

令h（x）=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞），则h′（x）=

x-lnx-1

(x-1)2

∵当x≥e时，（x-lnx-1）′=1-

1

x

＞0，
∴函数y=x-lnx-1在[e，+∞）上是增函数，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）的最小值为h（e）=

e

e-1

，
∴a≤

e

e-1

．

点评：考查学生会分区间讨论导函数的正负得到函数的增减性，会利用导数求闭区间上函数的最值．学生做题时应掌握不等式恒成立是所取的条件．