题目内容
【题目】已知函数
的定义域为
，对于任意的
都有
，设
时， 
.
（1）求
；
（2）证明：对于任意的
， 
；
（3）当
时，若不等式
在
上恒定成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1) 
; (2)详见解析;(3) 
.
【解析】试题分析：（1）令
， 
， 
；（2）令
， 
， 
， 
，结合
时， 
即可得结果；（3）先证明函数
在
单调递减，根据
，将原不等式化为
，可得
化简，利用不等式恒成立可得结果..
试题解析：（1）令
， 
， 
.
（2）由题意当
时， 
由（1）知，当
， 
所以下证，当
时， 
， 
.
（3）
令
， 
， 
，假设
， 
故函数
在
单调递减，
化简得： 
， 
.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成
后再利用单调性和定义域列不等式组.
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