Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足（n≥3）．令b_n=，且已知f（x）=2^x-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜；
（3）求证：．

Answer 1

解：（1）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
（n≥3）…3分
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
证明：（2）b_nf（n）=•2^n-1=•=（-）…（6分）
T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=[（-）+（-）+…+（-）]
=（-）
＜•=．…（7分）
（3）法一：令S=+++…+=++…+，
∵S=++…+≥n…（8分）
++…+≥n…（10分）
两式相乘有（++…+）•（++…+）≥n²，
即（++…+）•（n+1-）≥n²，…（11分）
∴S=++…+≥＞…（12分）
法二：数学归纳法：
①n=1时S=＞成立，
n=2时，S=+＞成立；…（8分）
（只写n=1时S=＞成立，本问不得分）
②假设n=k，k≥2时，S=++…+＞成立，
则n=k+1，S=++…++＞+，
要证S=++…++＞，
只需证+＞，
即证＞-，
即证＞…（9分）
即证＞，
即证1-＞1-，
即证2^k+1+1＞（k+1）（k+2）…（10分）
k≥5时，2^k+1+1＞2+2+2+1=k²+3k+3＞（k+1）（k+2）…（11分）
再验证k=2、3、4时2^k+1+1＞（k+1）（k+2）成立．后略…（12分）
分析：（1）根据题意可求得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用列项法将b_nf（n）=•2^n-1转化为b_nf（n）=（-），求和时再利用放缩法即可证得T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜；
（3）法一：构造函数，令S=+++…+=++…+，利用基本不等式可证明（++…+）•（++…+）≥n²，再对++…+通过分离常数得到n+1-，放缩后即可得证结论；
法二：数学归纳法：①n=1时S=＞成立，
②假设n=k，k≥2时，S=++…+＞成立，
则n=k+1，用分析法即可证得结论成立．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查裂项法求和与放缩法证明不等式，考查化归思想，分类讨论思想的综合应用，属于难题．