题目内容

已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线过椭圆
x2
4
+
y2
16
=1和椭圆
ax2
16
+
y2
4
=1（a≤1）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是
[
2
，
21
3
)
[
2
，
21
3
)
．
分析：联立方程，确定交点坐标，利用焦点在x轴上的双曲线的渐近线过交点，确定双曲线几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的取值范围．
解答：解：两方程联立
x2
4
+
y2
16
=1
ax2
16
+
y2
4
=1
，可得
x2=
48
16-a
y2=
64-16a
16-a

设双曲线的实轴长为2a′，虚轴长为2b′，则
b′2
a′2
=
64-16a
48
=
4-a
3

∴
c′2
a′2
=1+
b′2
a′2
=
7-a
3

∵0＜a≤1
∴2≤
7-a
3
＜
7
3

∴
2
≤e＜
21
3

故答案为：[
2
，
21
3
)
点评：本题考查椭圆的交点，考查双曲线的离心率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•潍坊一模）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与双曲
x2
4
-
y2
5
=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=
2
|AF|，则A点的横坐标为（　　）
（2012•淮南二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
1
2
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。

   （3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．

    （1）求双曲线C的方程；

    （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

    （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (–2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

已知抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为

A．            B．3                C．            D．4

 

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