Question

（本题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点）在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆相交于、两点，且△的面积，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为，由题意可得：

   椭圆两焦点坐标分别为.                   …………2分

   所以

   所以又，

   故椭圆的方程为.                …………………………4分

（2）方法一：当直线垂直于轴时，计算得到：，

，不符合题意；     ………………6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

    

由               ，消去得.

    

显然成立，设，

则        ……………………8分

又

即   ………………………………9分

又圆的半径，  …………………………10分

所以

化简，得即，解得，……11分

所以，,故圆的方程为： ………………12分

（2）方法二：设直线的方程为，         ………………5分

    

由             ，消去得，恒成立，

    

设，则    …………8分

所以

又圆的半径为，

所以，

解得，所以.           ……………………………………10分

故圆的方程为：.          ……………………………………12分