Question

已知数列{a_n}是等差数列,且3a₅=8a₁₂＞0,数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2(n∈N^*),{b_n}的前n项和为S_n,当n多大时S_n取得最大值？证明你的结论.

Answer 1

在数列{b_n}的前n项和为S_n中,前16项的和S₁₆最大.

解析:

设数列{a_n}的公差为d,则由3a₅=8a₁₂得3a₅=8(a₅+7d),

∴a₅=-d＞0.∴d＜0.

∴a₁₆=a₅+11d=-d+11d=-d＞0,

a₁₇=a₅+12d=-d+12d=d＜0.

∴a₁＞a₂＞a₃＞…a₁₆＞0＞a₁₇＞a₁₈＞….

∴b₁＞b₂＞b₃＞…b₁₄＞0.

b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0,b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0.

由于a₁₅=a₅+10d=-d+10d=-d,a₁₈=a₅+13d=-d+13d=d,

∴a₁₈＞｜a₁₅｜=a₁₅.∴b₁₆＞｜b₁₅｜=-b₁₅.

∴S₁₆=S₁₄+b₁₅+b₁₆＞S₁₄.

综上所述,在数列{b_n}的前n项和为S_n中,前16项的和S₁₆最大.