Question

（2013•滨州一模）已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

2

an=1(n∈N+)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log

1

3

(1-Sn+1)(n∈N+)，令T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由递推式求出a₁，取n=n-1（n≥2）得另一递推式，两式作差后可证出数列{a_n}是等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的a_n代入递推式，则可求出1-S_n+1，整理后得到b_n，最后利用裂项相消求T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，由S1+

1

2

a1=a1+

1

2

a1=1，得：a1=

2

3

．
当n≥2时，Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1．
则Sn-Sn-1=

1

2

(an-1-an)，即an=

1

2

(an-1-an)，
所以an=

1

3

an-1(n≥2)．
∵a1=

2

3

≠0，∴

an

an-1

=

1

3

．
故数列{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
故an=a1qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵Sn+

1

2

an=1，∴1-Sn=

1

2

an．
∴bn=log

1

3

(1-Sn+1)=log

1

3

(

1

3

)n+1=n+1．
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
所以，T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了计算能力，是中档题．