题目内容

设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）I满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）= $数学公式$ 为闭函数，则k的取值范围是

A.
（-1，- $数学公式$ ]
B.
[ $数学公式$ ，1﹚
C.
（-1，+∞）
D.
（-∞，1）

A
分析：若函数f（x）= $\text{[math]}$ 为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即 $\text{[math]}$ ，故a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x $\text{[math]}$ ，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．
解答：若函数f（x）= $\text{[math]}$ 为闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即 $\text{[math]}$ ，
∴a，b是方程x= $\text{[math]}$ 的两个实数根，
即a，b是方程x²-（2k+2）x+k²-1=0（x $\text{[math]}$ ，x≥k）的两个不相等的实数根，
当k $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解得-1＜k≤- $\text{[math]}$ ．
当k＞- $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，无解．
故k的取值范围是（-1，- $\text{[math]}$ ]．
故选A．
点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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