Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）求证：（n∈N^*）；
（3）设，对所有n∈N^*，b_n＜log₈t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点），从而可得结论；
（2）利用数学归纳法证明，关键是第二步：当n=k+1时，由归纳假设及，得，由此可证；
（3）利用裂项法求出b_n，确定b_n最大值，即可求b_n＜log₈t恒成立时实数t的取值范围．
解答：（1）解：依题意，△AA₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A为坐标原点），故有，，…（4分）
（2）证明：①当n=1时，可求得，命题成立； …（2分）
②假设当n=k时，命题成立，即有，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及，得．
即
解得（不合题意，舍去）
即当n=k+1时，命题成立．  …（4分）
综上所述，对所有n∈N^*，．    …（1分）
（3）解：==．…（2分）
因为函数在区间[1，+∞）上单调递增，所以当n=1时，b_n最大为，即．…（2分）
由题意，有，所以t＞2．
所以，t∈（2，+∞）． …（2分）
点评：本题考查数学归纳法，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．