Question

四棱锥A-BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE；
（1）求证：A、B、C、D、E五点都在同一球面上．
（2）若∠CBE=90°，CE=

3

，AD=1，求B、D两点间的球面距离．

Answer 1

分析：（1）取AB中点O，连接OD，OC，OE，直接根据AD⊥底面BCDE得到OD=

1

2

AB=OA=OB；同理得OC=OE=

1

2

AB=OA即可得到结论的证明；
（2）先根据底面BCDE为矩形得到BD=CE=

3

，再第一问的结论知道球的半径为1，再结合余弦定理求出∠BOD即可求出B、D两点间的球面距离．

解答：解：（1）作AB中点O，连接OD，OC，OE
AD⊥底面BCDE，在直角三角形ABD中，OD=

1

2

AB=OA=OB
AC⊥BC，在直角三角形ABC中，OC=

1

2

AB=OA
AE⊥BE，在直角三角形ABE中，OE=

1

2

AB=OA
即OA=OB=OC=OD=OE，
则A，B，C，D，E都在AB为直径的球上．
（2）因为：底面BCDE为矩形
所以BD=CE=

3

又因为AB=2
球心0在AB的中点上
所以球的半径为1
在三角形BOD中
OD=OB=1  BD=

3

由余弦定理可得cos∠BOD=

OD 2+OB 2-BD 2

2OB•OD

=-

1

2

．
∴∠BOD=120°．
所以B，D两点间的球面距为

1

3

圆周即

2π

3

．

点评：本题主要考察点、线、面间的距离．本题涉及到了余弦定理的应用，以及球内接多面体，解决问题的关键在于第一问的证明．