Question

如图，四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；
（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B-CE-F的余弦值为

3

13

13

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．

解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，
由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，
∴DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AC，
∵△ABC是正三角形，
∴取AC的中点M，连结MO，则MO∥CD，
∴MO⊥面ABC，
以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=2，AD=4，∴AM=

3

，
∴B（1，0，0），C（-1，0，0），A（0，0，

3

），
在Rt△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

42-22

=

12

=2

3

．
∴BE=CD=2

3

，即E（1，2

3

，0）
则

BA

=(-1，0，

3

)，
∵点F在线段AB上，
∴设BF=xBA，（0≤x≤1）
则

BF

=x

BA

∴F（1-x，0，

3

x），则

CE

=(2，2

3

，0)，

CF

=(2-x，0，

3

x)，
设面CEF的法向量为

n

=(a，b，c)，
则由

n • CE =0 n • CF =0

得，

2a+2 3 b=0 (2-x)a+ 3 xc=0

，
令a=

3

，则b=-1，c=

x-2

x

，即

n

=(

3

，-1，

x-2

x

)，
平面BCE的法向量为

m

=(0，0，1)，
二面角B-CE-F的余弦值为

| m • n |

| m |•| n |

=

3 13

13

，
即

| x-2 x |

( 3 )2+12+( x-2 x )2

=

3 13

13

，
∴

( x-2 x )

4+( x-2 x )2

=

3 13

13

，
平方得

( x-2 x )2

4+( x-2 x )2

=

9

13

，解得：(

x-2

x

)2=9，
解得x=-1（舍去）或x=

1

2

．
即F是线段AB的中点时，二面角B-CE-F的余弦值为

3

13

13

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．