题目内容

已知函数f（x）=（ $数学公式$ sinx-cosx）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为△ABC的面积．若f（A）= $数学公式$ ，a=2 $数学公式$ ，S=2 $数学公式$ ，求b，c．

解：（1）∵f（x）=（ $\text{[math]}$ sinx-cosx）cosx
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$
=sin（2x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，f（x）_max= $\text{[math]}$ ；
（2）在△ABC中，∵f（A）= $\text{[math]}$ ，
∴sin（2A- $\text{[math]}$ ）=1，0＜A＜π，
∴A= $\text{[math]}$ ，
∵S为△ABC的面积，S=2 $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ bc× $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴bc=8①
又a=2 $\text{[math]}$ ，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=20．②
由①②解得：b=4，c=2或b=2，c=4．
分析：（1）利用三角函数间的关系式将f（x）=（ $\text{[math]}$ sinx-cosx）cosx转化为f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ，利用正弦函数的性质即可求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）利用三角形的面积公式与正弦定理得到关于b，c的方程组，解之即可．
点评：本题考查正弦定理的应用，考查三角函数中的恒等变换应用，考查方程思想与化归思想，属于中档题．