题目内容

等差数列{a_n}中，a₁=25，S₁₇=S₉，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．

解：解法一：∵a₁=25，S₁₇=S₉，
∴17a₁+ $\text{[math]}$ d=9a₁+ $\text{[math]}$ d，解得d=-2．
∴S_n=25n+ $\text{[math]}$ ×（-2）
=-n²+26n=-（n-13）²+169．
由二次函数的知识可知：当n=13时，
S₁₃=169，即前13项之和最大，最大值为169．
解法二：同方法一：得d=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，由a_n-1≤a_n≤a_n+1，
可解得 $\text{[math]}$ ≤n≤ $\text{[math]}$ ，又∵n∈N^*，
∴当n=13时，S_n取得最大值，最大值为169．
分析：解法一，由等差数列的求和公式可得17a₁+ $\text{[math]}$ d=9a₁+ $\text{[math]}$ d，解之可得d=-2，进而可得S_n=-n²+26n，由二次函数的性质可得；解法二，求出公差后可得通项，由a_n-1≤a_n≤a_n+1可得n的范围，结合n为自然数可得结论．
点评：本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质，属中档题