题目内容

用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，则当n=k+1时，待证表达式应为
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
．
分析：数学归纳法证明n=k+1的待证表达式，可以利用n=k时的表达式写出即可．
解答：解：因为证明关于n的恒等式时，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，
则当n=k+1时，待证表达式应为：
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
故答案为：1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
点评：本题考查数学归纳法的应用，基本知识的考查．
练习册系列答案
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已知：函数f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，
4
3
)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
，n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=
n(n+1)(n+2)(an+b)
12
．对于一切n∈N*都立？
（1）若n=1，2 时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

（本小题满分12分）

关于的函数与数列具有关系：， (为常数)，

(=1,2,3,…)，又已知函数的导数，为方程的实根.

（I）用数学归纳法证明：；

（II）证明：.

 

(本小题满分12分)

关于的函数与数列具有关系：

,(=1,2,3,…)(为常数)，又设函数的导数，为方程的实根.

（I）用数学归纳法证明：；

（II）证明：.

 

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