Question

（1）已知直线（t为参数），（θ为参数）．
（Ⅰ）当时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）分别消去直线C₁、曲线C₂参数，Z在把α代入联立即可得出；
（Ⅱ）由直线OA⊥直线C₁，可得出直线OA的方程，与直线C₁的方程联立即可求出点A的坐标，再利用中点坐标公式即可求出线段OA的中点P的参数方程．
（2）（Ⅰ）利用柯西不等式即可求出；
（Ⅱ）对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立?|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，利用（Ⅰ）的结论，再解出绝对值的不等式即可得出x的取值范围．
解答：解：（1）（Ⅰ）由直线消去参数t得y=tanα（x-1），当时，，
由曲线消去参数θ得x²+y²=1，
联立，消去y化为2x²-3x+1=0，解得x=1或，
分别代入解得y=0，，∴或，
∴C₁与C₂的交点坐标为（1，0），；
（Ⅱ）∵OA⊥直线C₁，∴直线OA的方程为，
联立解得．
当α时，由中点坐标公式可得点P的参数方程为（α为参数）．
（2）（I）由柯西不等式得：（a²+4b²+c²）（1+1+1）≥（a+2b+c）²
又a、b、c为正实数，∴a+2b+c≤3．
当且仅当a=2b=c，即时取等号．
∴（a+2b+c）_max=3．  
（II）若对于满足条件的正实数a、b、c不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立．
则|x-5|-|x-1|≥（a+2b+c）_max，
即|x-5|-|x-1|≥3．
记f（x）=|x-5|-|x-1|=，
作函数的图象如图所示：
由，
由图象知，实数x满足的区间为．
点评：熟练掌握把参数方程化为普通方程的方法、相互垂直的直线的斜率之间的关系、中点坐标公式、柯西不等式及恒成立问题的等价转化、解绝对值不等式的分类讨论方法是解题的关键．