Question

已知正项等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，我们易求出数列的公比，再结合存在两项a_m、a_n使得

aman

=4a1，我们可以求出正整数m，n的和，再结合基本不等式中“1”的活用，即可得到答案．

解答：解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵a₇=a₆+2a₅，则a₁•q⁶=a₁•q⁵+2a₁•q⁴
即q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）
若

aman

=4a1，
则m+n=6
则6（

1

m

+

4

n

）=（m+n）（

1

m

+

4

n

）=5+（

n

m

+

4m

n

）≥5+4=9
则

1

m

+

4

n

≥

9

6

=

3

2

故答案为

3

2

点评：本题考查的知识点是等比数列的性质，基本不等式，其中根据已知中正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得

aman

=4a1，将问题转化为用基本不等式求最值是解答本题的关键．