Question

（2006•朝阳区一模）已知口袋中有大小相同的m个红球和n个白球，m≥n≥2，从袋中任意取出两个球．
（Ⅰ）若m=4，n=3，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；
（Ⅱ）设取出的两球都是红球的概率为p₁，取出的两球恰是1红1白的概率为p₂，且p₁=2p₂，求证：m=4n+1．

Answer 1

分析：（I）设取出的两个球中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，则取出的两个中至少有一个红球的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

+

C 2 4

C 2 7

，运算求得结果．
（II）由已知得p1=

C 2 m

C 2 m+n

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，又p₁=2p₂，可得

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，化简得m²-m-4mn=0，即m=4n+1

解答：解：（I）设取出的两个中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，
则取出的两个中至少有一个红球的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=

C 1 4 C 1 3

C 2 7

+

C 2 4

C 2 7

=

4

7

+

2

7

=

6

7

．…（6分）
（II）由已知得p1=

C 2 m

C 2 m+n

，p2=

C 1 m C 1 n

C 2 m+n

，又p₁=2p₂，∴

C

2 m

=2

C

1 m

C

1 n

，…（10分）
∴

m(m-1)

2

=2mn，即m²-m-4mn=0．∴m=4n+1．…（13分）

点评：本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．