Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a _n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有+…+＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，可得关于d和a₁的方程组，解之代入通项公式可得；（Ⅱ）可得=（-），裂项相消可得
原式=（1-），由放缩法可得答案．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则，解得
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1，n∈N*．…（6分）
（Ⅱ）∵==（-），
∴+…+
=[（1-）+（-）+…+（-）]
=（1-）＜．…（12分）
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及裂项相消法求数列的和，属中档题．