Question

下图是一个按照某种规则排列出来的三角形数阵

 假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次写出第六行的所有6个数字（不必说明理由）；
（2）写出a_n+1与a_n的递推关系式（不必证明），并求出a_n的通项公式a_n（n≥2，n∈N^*）；
（3）设，求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）仔细观察三角形数阵的排列规则直接写出第六行所有数字即可；
（2）仔细观察数阵可发现其排列规律，根据规律可求出a_n+1与a_n的递推关系式，然后便可求出a_n的通项公式；
（3）由b_n=，解得 再由裂项相消法证明．
解答：解：（1）仔细观察三角形数阵可以知道第六行的所有数字应该为6，17，25，25，17，6
设第n行的第m个数为P（n，m）
（2）仔细观察三角形数阵可以发现：设第n行的第2个数字a_n等于第n-1行第一个数字n与第二个数字a _n-1之和，
即a_n=a_n-1+（n-1），
由此可知：a_n+1=a_n+n，即a_n+1-a_n=n．
a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…，
a₄-a₃=3，
a₃-a₂=2，
将上式相加可得a_n-a₂=n-1+n-2+…+3+2=，
a_n=a₂+==2+，
∴a_n的通项公式为 ；
（3）因为b_n=，所以 （12分）
=．
点评：本题考查了数列的递推公式以及数列的求和，学生的计算能力、观察能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．