Question

（2006•海淀区一模）定义在R上的函数y=f（x）既是奇函数又是周期函数，若函数y=f（x）的最小正周期是2，且当x∈（0，1）时，f（x）=log

1

2

（1-x），则f（x）在区间（1，2）上是（　　）

A．增函数且f（x）＞0

B．增函数且f（x）＜0

C．减函数且f（x）＞0

D．减函数且f（x）＜0

Answer 1

分析：用变量代换的方法求得：x∈（-1，0）时，f（x）=log

1

2

1

1+x

．根据基本初等函数的单调性与对数的运算性质，得到
f（x）在区间（-1，0）上的单调性、值域，再根据f（x）的最小正周期是2，即可得到f（x）在区间（1，2）的情况．

解答：解：当x∈（-1，0）时，可得f（-x）=log

1

2

[1-(-x)]=log

1

2

(1+x)，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x∈（-1，0）时，f（-x）=-f（x）=log

1

2

(1+x)，可得f（x）=log

1

2

(1+x)^-1=log

1

2

1

1+x

又∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x）在区间（1，2）的单调性、值域与f（x）在区间（-1，0）上的单调性、值域相同
∵t=

1

1+x

在区间（-1，0）上是减函数，得t=

1

1+x

＜1
∴结合0＜

1

2

＜1，可得log

1

2

1

1+x

＞0，且f（x）在区间（1，2）是增函数
故选：B

点评：本题给出含有周期的基本初等函数，在已知它在（0，1）上的表达式的情况下求它在区间（1，2）的单调性和值域．着重考查了函数奇偶性与单调性的综合、函数的周期性等知识，属于基础题．