Question

（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于

π

3

，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：（1）在△POC中，根据∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．
（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则S(θ)=

1

2

CP•OCsin

2π

3

，利用
两角和差的正弦公式化为

2 3

3

(sin2θ+

π

6

)-

3

3

，可得θ=

π

6

时，S（θ）取得最大值为

3

3

．
解法二：利用余弦定理求得OC²+PC²+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以S=

1

2

CP•OCsin

2π

3

≤

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．

解答：解：（1）在△POC中，∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1，
由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos

2π

3

得PC²+PC-3=0，解得PC=

-1+ 13

2

．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=

π

3

-θ，
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，
即

2

sin 2π 3

=

CP

sinθ

，∴CP=

4

3

sinθ．
又

OC

sin( π 3 -θ)

=

CP

sin 2π 3

，∴OC=

4

3

sin(

π

3

-θ)．
记△POC的面积为S（θ），则S(θ)=

1

2

CP•OCsin

2π

3

=

1

2

•

4

3

sinθ•

4

3

sin(

π

3

-θ)×

3

2

=

4

3

sinθ•sin(

π

3

-θ)=

4

3

sinθ(

3

2

cosθ-

1

2

sinθ)=2sinθcosθ-

2

3

sin2θ
=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

(sin2θ+

π

6

)-

3

3

，
∴θ=

π

6

时，S（θ）取得最大值为

3

3

．
解法二：cos

2π

3

=

OC2+PC2-4

2OC•PC

=-

1

2

，即OC²+PC²+OC•PC=4．
又OC²+PC²+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，
所以S=

1

2

CP•OCsin

2π

3

≤

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

，∵OC=PC，
∴θ=

π

6

时，S（θ）取得最大值为

3

3

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题．