Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲线以原点为圆心，半径为的圆；

（2）

【解析】

（1）曲线的参数方程，的参数方程消去参数，能求出的普通方程，以原点为圆心，半径为的圆，由此能求出的极坐标方程.

（2）解法一：直线的普通方程为，由圆的半径为，且圆心到直线的距离，从而圆与直线相离，由此能求出点到直线的距离的最小值；解法二：由直线的极坐标方程求出直线的普通方程为，曲线上的点到直线的距离，由此能求出点到直线的距离的最小值.

（1）曲线的参数方程为，（为参数），

将曲线经过伸缩变换后得到曲线，

曲线的参数方程，

的参数方程消去参数，

所以的普通方程为，

曲线以原点为圆心，半径为的圆，

的极坐标为，即.

（2）解法一：直线的极坐标方程为，

直线的普通方程为，

因为圆的半径为，且圆心到直线的距离，

因为，所以圆与直线相离，

所以圆上的点到直线的距离的最小值.

解法二：由直线的极坐标方程为

则直线的普通方程为，

曲线上的点到直线的距离

，

当时，即时，

取得最小值为.