题目内容

若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线f（x）=
1
3
x3-ax的切线，则实数a的取值范围是（　　）
A、a≥1B、a＞1
C、a≤1D、a＜1
分析：把已知直线变形后找出直线的斜率，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线斜率不为已知直线的斜率，求出f（x）的导函数，由完全平方式大于等于0即可推出a的取值范围．
解答：解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，
所以已知直线是所有斜率为-1的直线，
即曲线的斜率不为-1，由f（x）=
1
3
x3-ax得：f′（x）=x2-a，
对于x∈R，有x2≥0，根据题意得：a＜1．
故选D
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
13
x3-ax+1，
（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）当a＜1时，求f（x）在[0，1]上的最小值；
（3）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围．
（2013•浙江模拟）已知函数f(x)=
13
x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．
（2011•遂宁二模）若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线f(x)=
13
x3-ax的切线，则实数a的取值范围是
（-∞，1）
（-∞，1）
．
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax+1．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

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