Question

（2011•遂宁二模）若对任意m∈R，直线x+y+m=0都不是曲线f(x)=

1

3

x3-ax的切线，则实数a的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：求出直线的斜率，求出f（x）的导函数，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线切线的斜率不为已知直线的斜率，建立不等关系式，即可推出a的取值范围．

解答：解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，
所以已知直线是所有斜率为-1的直线，
即曲线切线的斜率不为-1，
由f（x）=

1

3

x³-ax得：f′（x）=x²-a，
对于x∈R，有x²≥0，根据题意得：a＜1．
实数a的取值范围是 （-∞，1）；
故答案为：（-∞，1）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，考查直线的斜率与函数的导数的关系，考查计算能力．